ピザのように切って円と楕円の面積求めたい!!

今日はピザをイメージした方法で円、楕円の面積を求めていきます。　

(極座標、微分、積分の知識があれば理解できると思います)

円の面積
楕円の面積

円の面積

ではまずイメージしてみましょう。ピザを食べる際何等分かに切り分けて食べると思います。この時1ピースの形は何でしょう？　おそらく特殊な切り方をしていない限り扇形になっていると思います。　
これはあくまでも数ピースに切り分けた時の話です。

ここからが重要

では次に無限個にピザを分割します。
この時1ピースはどのような形でしょうか？

実は三角形と考えることができます。

これが今回のみそ

では下の図を見て納得してもらいましょう。

どうでしょう？
分割する数を増やせば増やすほどピザ1ピースが三角形に近づくことがわかると思います。
そして図のように角度が90度になる理由は円の接線と半径が90度で交わり、無限個に分割するからです。

では具体的に計算に移っていきたいと思うので、下の図を見て立式してみましょう。

まず日本語でかくと

円の面積＝∫（微小三角形の面積）

微小三角形の面積は図より $\frac{1}{2}$ rdr= $\frac{1}{2}$ r(rdθ)
そして積分範囲は０～θ～２π
よって

円の面積＝ $\int_{0}^{2π}$ $\frac{1}{2}$ r(rdθ) = $\int_{0}^{2π}$ $\frac{1}{2}$ $r^{2}$ dθ=π $r^{2}$

こんな感じで円の面積を求めることができまし
た。

次は楕円の面積を求めてみよう。　ぜひ自力でできるかチャレンジしてみてね。

楕円の面積

考え方は円の時と同じです。
ですが一つ違う点があります。それは半径ｒが一定でないということ。つまりｒがθの関数ｒ(θ)となっている。
下の図を見てください。　まず①のようにx,y座標をr,θを使って表します。

そして①を②のx,yに代入します。そしてrについて解きます。
するとr= $\frac{ab}{\sqrt{(bcosθ)^{2}＋(asinθ)^{2}}}$ 　　となると思います。

後は $\int_{0}^{2π}$ $\frac{1}{2}r^{2}$ dθを解くだけです。

では解いていきましょう。

対称性より第1象限のみを考え4倍します。
よって面積は
4 $\int_{0}^{\frac{π}{2}}$ $\frac{1}{2}r^{2}$ dθ
=2 $\int_{0}^{\frac{π}{2}}$ $r^{2}$ dθ
=2 $\int_{0}^{\frac{π}{2}}$ $\frac{(ab)^2}{(bcosθ)^{2}＋(asinθ)^{2}}$ dθ
$（sinθ）^{2}$ ＋ $（cosθ）^{2}$ ＝１より
=2 $\int_{0}^{\frac{π}{2}}$ $\frac{(ab)^2}{(a^{2}-b^{2})(sinθ)^{2}＋b^{2}}$ dθ
=2 $\frac{(ab)^2}{(a^{2}-b^{2})}$ $\int_{0}^{\frac{π}{2}}$ $\frac{(1)}{(sinθ)^{2}＋\frac{b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}$ dθ
ここでtaθ=tと置くと、 $（sinθ）^{2}$ = $\frac{t^2}{t^2＋1}$ , dθ= $\frac{1}{t^2＋1}$ dt,
積分範囲は0~θ~2πより0~t~∞となる。
よって
=2 $\frac{(ab)^2}{(a^{2}-b^{2})}$ $\int_{0}^{∞}$ $\frac{1}{\frac{t^2}{t^2＋1}＋\frac{b^2}{a^2-b^2}}$ $\frac{1}{t^2＋1}$ dt
=2 $\frac{(ab)^2}{(a^{2}-b^{2})}$ $\int_{0}^{∞}$ $\frac{1}{\frac{a^2}{a^2-b^2}t^2＋\frac{b^2}{a^2-b^2}}$ dt
=2 $\frac{(ab)^2}{(a^{2}-b^{2})}$ $\frac{1}{\frac{a^2}{a^2-b^2}}$ $\int_{0}^{∞}$ $\frac{1}{t^2＋\frac{b^2}{a^2}}$ dt
ここでtanの逆関数 arctanを用いて積分を実行すると
=2 $b^{2}$ $\frac{a}{b}$ (arctan $\frac{a}{b}$ ∞-arctan $\frac{a}{b}$ 0)
=2ab(arctan∞-arctan0)　　　　　
=2ab $\frac{π}{2}$
=πab